Una definizione di equazione

Un'equazione è una relazione che contiene un termine incognito (convenzionalmente indicato con il simbolo x) di cui si desidera trovare il valore. Ad esempio, nell'equazione:

x + 3 =4

x è il termine incognito, e l'equazione equivale alla seguente frase: "se sommiamo 3 ad una certa quantità (che chiamiamo x) otteniamo 4". Dunque qual è il numero a cui bisogna aggiungere 3 per ottenere 4? La risposta è 1, dunque possiamo dire che x vale 1 e quindi 1 è soluzione dell'equazione.

Si può però anche applicare il procedimento inverso, ovvero da una frase possiamo scrivere un'equazione, ad esempio "se moltiplichiamo una certa quantità x per 3 e sottraiamo 2 otteniamo 13" può essere tradotta nella seguente equazione:

3x - 2 = 13

In questo caso la soluzione è 5, difatti

3 * 5 -2 = 13
15 - 2 = 13
13 = 13

Ma come si risolve un'equazione? Dobbiamo servirci dei due principi di equivalenza.

Primo principio di equivalenza

Sommando o sottraendo ad entrambi i membri (ovvero sia a destra che a sinistra dell'uguale) la stessa quantità (anche contenente l'incognita x) si ottiene un'equazione equivalente a quella data:
Ad esempio, data la prima equazione presentata possiamo sottrarre 3 ad ambo i membri:

x + 3 = 4
x + 3 - 3 = 4 - 3

Ottenendo quindi:

x + 0 = 1
x = 1

Abbiamo così potuto trovare la soluzione dell'equazione.

Regola del trasporto

Dal primo principio di equivalenza deriva un'importante regola, detta regola del trasporto, che permette di lavorare agevolmente con le equazioni.
La regola del trasporto afferma che è possibile trasportare un termine da un membro all'altro (ovvero da destra a sinistra o da sinistra a destra) a patto di cambiare il suo segno.
Se torniamo all'esempio di prima (x + 3 = 4) se spostassimo il termine 3 da sinistra otterremmo qualcosa del tipo "x = ...", ovvero troveremmo il valore dell'incognita x e quindi la soluzione dell'equazione. Applichiamo allora la regola del trasporto sul 3:

x + 3 = 4
x = 4 - 3
x = 1

Secondo principio di equivalenza

Il secondo principio di equivalenza è molto simile al primo ma riguarda moltiplicazione e divisione. Esso afferma che moltiplicando o dividendo entrambi i membri (ovvero sia a destra che a sinistra dell'uguale) la stessa quantità (anche se contenente l'incognita x), purché diversa da 0, si ottiene un'equazione equivalente a quella data.
Prendiamo in considerazione la seconda equazione che avevamo proposto:

3 * x - 2 = 13

Ricordando che il nostro obiettivo è isolare la x (lasciarla da sola a sinistra) per prima cosa applichiamo la regola del trasporto sul 2 e portiamolo quindi da sinistra a destra:

3 * x = 13 + 2
3 * x = 15

A questo punto dobbiamo sbarazzarci del 3 che moltiplica la x e possiamo allora servirci del secondo principio di equivalenza che ci permette di dividere a destra e a sinistra per 3:

(3 * x) / 3 = 15 / 3
x = 5

Procedimento risolutivo

1. Semplificare quanto più possibile le espressioni a destra e a sinistra dell'uguale risolvendo le parentesi e sommando tra loro termini con x con termini con x e termini senza x con termini senza x.

2. Usare la regola del trasporto per portare a sinistra dell'uguale tutti i termini in x e a destra tutti quelli senza.

3. Semplificare nuovamente.

4. Usare il secondo principio di equivalenza per dividere entrambi i membri per il numero che moltiplica la x.

5. Semplificando si ottiene la soluzione desiderata.